mathématiques

Les mathématiciens amateurs se rapprochent d’un nombre inimaginablement énorme – Un si grand qu’il se reproduit sur le bord de ce qui est même connaissable dans le cadre des mathématiques modernes.

Tout découle d’une question apparemment simple: comment savez-vous si un programme informatique s’exécutera pour toujours? Répondre à cela commence par le mathématicien Alan Turing. Dans les années 1930, il a montré que tout algorithme informatique peut être imité en imaginant une simple «machine Turing» qui lit et écrit 0 et 1 sur une bande infiniment longue en suivant un ensemble d’instructions appelées états, avec des algorithmes plus complexes nécessitant plus d’états.

Pour chaque nombre d’états, tels que 5 ou 100, il existe des machines de Turing, mais il n’est pas clair pendant combien de temps chacune de ces machines doit fonctionner. Le temps d’exécution le plus long possible pour chaque nombre d’états est appelé le nombre de castors animé ou BB (n), et cette séquence croît incroyablement rapidement: BB (1) est 1, BB (2) est de 6, mais le cinquième nombre de castors occupé est de 47 176 870.

La valeur exacte du prochain numéro de castor occupé, le sixième, est inconnu, mais une communauté en ligne appelée The Busy Beaver Challenge est Tenter de le découvrir – Ils ont découvert BB (5) en 2024, mettant fin à une recherche de 40 ans. Maintenant, un membre connu sous le nom de «Mxdys» a découvert qu’il doit être au moins aussi grand qu’un nombre qui est si grand que même le décrire nécessite une explication.

«Ce nombre est si loin au-delà du physique, il n’est même pas drôle», dit Shawn Ligockiun ingénieur logiciel et un contributeur Busy Beaver Challenge. Il compare la recherche à travers toutes les machines de Turing possibles à la pêche dans une mer mathématique profonde où seuls des morceaux de code exotiques étranges nagent dans l’obscurité.

Le nouveau lien de BB (6) est si important qu’il nécessite un langage mathématique qui transcende l’exponentiation – la pratique de l’augmentation d’un nombre n à la puissance d’un autre x, ou n^xcomme 2³, qui est 2 * 2 * 2 = 8. Premièrement, il y a une tétration, parfois écrite comme ^xn, qui implique une exponentiation itérée, donc ³2 serait 2 élevé à la puissance de 2, à la puissance de 2, ce qui est égal à 16.

Remarquablement, MXDYS a montré que BB (6) est au moins 2 tétré au 2 tétré au 2 tétré au 9, une tour de tétration itérée, où chaque tétration est, à son tour, une tour d’exponentiation itérée. Le nombre de toutes les particules de l’univers semble chétif en comparaison, explique Ligocki.

Mais les numéros de castor animés ne sont pas importants simplement à cause de leur taille absurde. Turing a prouvé qu’il doit y avoir des machines Turing dont les comportements ne peuvent pas être prédits sous la théorie ZFC, une base qui sous-tend toutes les mathématiques modernes standard. Il a été inspiré par le «théorème d’incomplétude» du mathématicien Kurt Gödel, qui a montré que les règles de ZFC elle-même ne peuvent pas être utilisées pour prouver que la théorie est garantie d’être absolument libre de toutes les contradictions.

«L’étude des chiffres de castors occupés fait que les phénomènes découverts par Gödel et Turing il y a près d’un siècle sont quantitatifs et concrètes», explique Scott Aaronson à l’Université du Texas à Austin. “Au lieu de simplement dire que les machines Turing doivent échapper à la capacité de ZFC à déterminer leur comportement après un point fini, nous pouvons maintenant demander, cela se produit-il déjà avec des machines à 6 États ou seulement avec des machines à 600 états?” Les chercheurs ont jusqu’à présent prouvé que BB (643) Théorie d’élude ZFCmais bon nombre des plus petits nombres n’ont pas encore été explorés.

«Le problème de castor occupé vous donne une échelle très complète pour réfléchir à la frontière des connaissances mathématiques», explique l’informaticien Tristan Stérin, qui a lancé le Busy Beaver Challenge en 2022.

En 2020, Aaronson a écrit Le fait que la fonction de castor animée «code probablement une grande partie de toute vérité mathématique intéressante dans ses cent premières valeurs», et BB (6) ne fait pas exception. Il semble être lié au Conjecture collatzun problème mathématique célèbre non résolu qui implique de répéter des opérations arithmétiques simples sur des nombres et de voir s’ils deviennent finalement 1. Trouver BB (6) semble être lié à une machine Turing qui devrait imiter certaines des étapes de ce problème afin de s’arrêter. Si une telle machine s’arrêtait, cela indiquerait qu’il existe une preuve de calcul pour une version de la conjecture.

Les chiffres avec lesquels les chercheurs ont affaire sont incroyables dans leur ampleur, mais le cadre de castor animé fournit un bâton de compteur pour ce qui serait autrement une région apparemment inintelligible des mathématiques. De l’avis de Stérin, c’est ce qui maintient tant de contributeurs accrochés, même si la plupart d’entre eux ne sont pas des universitaires. Il estime qu’il y en a actuellement quelques dizaines qui travaillent constamment à la recherche de BB (6).

Il y a encore plusieurs milliers de machines de Turing «Holdout» dont le comportement d’arrêt n’a pas été vérifié, dit-il. «Au coin de la rue, il pourrait y avoir une machine inconnaissable», explique Ligocki, ce qui signifie qu’il est indépendant de ZFC et au-delà des limites des mathématiques modernes.

La valeur exacte de BB (6) pourrait-elle également être au coin de la rue? Ligocki et Stérin disent tous les deux qu’ils savent mieux que d’essayer de prédire l’avenir de Busy Beaver, mais le succès récent dans la délimitation du nombre donne à Ligocki une «intuition qu’il y a plus à venir», dit-il.

Que ce soit des réservoirs ennemis au combat, des animaux à l’état sauvage ou des couverts dans une cantine animée, il est difficile de compter des objets qui se déplacent. Heureusement, il existe une technique qui peut estimer le nombre de quelque chose sans vous obliger à compter chacun.

La méthode de capture-recapture consiste à obtenir un échantillon – en attendant que certains animaux se promènent, par exemple, puis en collectant certains – marquant distinctement les individus, puis en les libérant dans la population. Après un certain temps, vous répétez le processus pour choisir un autre groupe d’animaux et compter combien d’entre eux sont déjà marqués.

Si vous avez capturé, disons, 50 animaux au départ et les ont tous marqués, alors sur votre pas de recapture, vous avez trouvé la moitié des animaux que vous avez vus étaient marqués, cela vous dit quelque chose sur l’ensemble de la population. Étant donné que la moitié de l’échantillon est marquée, cela implique que la moitié de la population entière est marquée – il doit donc y avoir environ 100 individus. Cela peut donner une estimation raisonnablement précise d’une population, sans avoir à trouver et à en compter chaque membre.

Pendant la Seconde Guerre mondiale, les statisticiens alliés voulaient déterminer le nombre de chars que l’armée allemande produisait. Les réservoirs capturés ne peuvent pas être réédités, mais, car les composants du réservoir sont marqués de numéros de série, une autre approche leur a permis de faire une estimation. Ils ont enregistré les numéros de série de tous les réservoirs capturés ou détruits, travaillant sur l’hypothèse qu’ils étaient numérotés séquentiellement et au hasard. Si le plus grand numéro de série dans vos données est L et le nombre de chars capturés est nune estimation du nombre total de chars est donnée par L + L/n.

Donc, si nous avions quatre nombres, dont le plus grand était de 80 ans, nous pourrions supposer que toute la gamme s’étend environ 80/4 = 20, donc il y aurait environ 100 réservoirs dans l’ensemble. Ceci est connu comme le problème du réservoir allemand dans les statistiques.

Une de mes histoires d’estimation de la population préférées m’a été racontée par un ami enseignant, qui a chargé ses élèves d’estimer le nombre de fourches à la cantine de l’école – impossible de compter car, à tout moment, un nombre sera utilisé et d’autres seront dans le lavage.

Sa classe a «capturé» un ensemble de fourches et a marqué chacun avec une goutte de vernis à ongles, puis les a relâchés dans la population. Une semaine plus tard, ils ont repris une autre population d’échantillons et l’ont utilisé pour faire une estimation du nombre total de fourches.

Chercheurs interprété Une expérience similaire il y a 20 ans. Un nombre inquiétant de cuillères à café manquait dans leur laboratoire, ils ont donc marqué un ensemble de cuillères avant de les libérer, d’étudier leurs mouvements et de publier les résultats. Il s’avère que la science est efficace: la publication du journal a entraîné que cinq cuillères à café sont retenues timidement par des voleurs de la cuillère dans le bâtiment.

Katie Steckles est mathématicien, maître de conférences, Youtuber et auteur basée à Manchester, au Royaume-Uni. Elle est également conseillère pour la colonne de puzzle de New Scientist, Brentwister. Suivez-la @Steck

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Une forme à quatre côtés qui se reposera toujours du même côté, peu importe le côté à laquelle il commence a été construit par des mathématiciens, des décennies après la première proposition d’exister.

Les mathématiciens sont depuis longtemps fascinés par les formes «monostables» autonomes, qui ont un point de repos préféré lorsqu’ils sont placés sur une surface plane. Un exemple célèbre est le Gömböc, un objet incurvé en forme de coquille de tortue qui a une distribution de poids précise et se balancera d’un côté à l’autre jusqu’à ce qu’il atteigne le même lieu de repos stable.

En 1966, le mathématicien John Conway travaillait sur la façon dont l’équilibre des formes à bords droits et prouvait qu’une forme à quatre côtés, ou tétraèdre, avec une répartition uniforme de la masse serait impossible. Cependant, il a dit à ses collègues à l’époque qu’un tétraèdre monostable inégalement équilibré pourrait être possible, mais ne l’a jamais prouvé.

Maintenant, Gábor Domokos À l’Université de technologie et d’économie de Budapest, en Hongrie, et ses collègues ont construit un tétraèdre monostable, qu’ils appellent le bille, en utilisant des entretoises en fibre de carbone et une assiette en carbure de tungstène ultra-dense. Le nom vient du mot hongrois pour Tip, fesse.

Ils ont d’abord commencé à travailler sur le problème lorsque Domokos a demandé à son élève, Gergő Almádi, de rechercher le tétraèdre de Conway en effectuant une recherche de force brute avec des ordinateurs puissants. «Vous vérifiez chaque tétraèdre, et avec de la chance, vous le trouvez, ou avec du temps, ou avec [computing power]ou un mélange de ceux-ci », explique Domokos.

Comme Conway l’a prédit, ils n’ont trouvé aucun tétraèdre monostable avec une répartition du poids uniforme, mais ils ont trouvé des candidats inégaux et ont continué à prouver leur existence mathématiquement.

Domokos et son équipe voulaient alors construire un exemple réel, mais cela s’est avéré «un ordre de grandeur plus difficile», dit-il. En effet, selon leurs calculs, la différence entre la densité des parties pondérées et non pondérées des objets devait être environ 5000 fois, ce qui signifie que l’objet devrait être essentiellement fabriqué à partir d’air mais toujours rigide.

Pour faire la forme, Domokos et son équipe se sont associés à une société d’ingénierie et ont dépensé des milliers d’euros pour concevoir précisément les forces de fibre de carbone à un dixième d’un millimètre et faire la plaque de base en tungstène à moins d’un dixième de gramme.

Lorsque Domokos a vu le fonctionnement de Bille dans la vie réelle, il avait l’impression qu’il «lévitait 1 mètre au-dessus du sol», dit-il. «C’est un grand plaisir de savoir que vous avez réalisé quelque chose qui rendrait John Conway heureux.»

«Il n’y a pas de modèle, d’exemple précédent ou rien dans la nature qui [have suggested to Conway] que cette forme existe », dit Domokos.« C’était dans un coin si obscur de la réalité qu’aucun humain [could] Atteignez-le »jusqu’à présent,” lorsque vous avez des ordinateurs puissants et que vous êtes prêt à payer des milliers de dollars “.

La forme qu’ils ont construite a un chemin de basculement spécifique entre ses côtés, explique Domokos, en basant de B à A, de C à A, et de D à C et C à A. Il existe un autre type de tétraèdre monostable qui indique qu’ils auraient besoin d’un matériau qui est une fois et de la dense que le Soleil.

Domokos espère que leur travail aidera les ingénieurs à modifier la géométrie des landers lunaires à les rendre moins susceptibles de tomber, comme Plusieurs récentes Les vaisseaux spatiaux ont fait. “Si vous pouvez le faire avec quatre faces, vous pouvez le faire avec n’importe quel autre nombre de visages.”