Hannah Larson est obsédée par la compréhension de ce qui se passe lorsque deux ou plusieurs objets mathématiques se croisent. Larson, mathématicien à l’Université de Californie à Berkeley et chercheur au Clay Mathematics Institute, a récemment remporté le prix Maryam Mirzakhani New Frontiers 2024. Il porte le nom de la première femme mathématicienne à remporter la médaille Fields, souvent décrite comme le prix Nobel de mathématiques. Le Prix Nouvelles Frontières est décerné à des mathématiciennes exceptionnelles qui ont récemment obtenu leur doctorat.
La théorie des intersections, l’une des spécialités de Larson, est une branche d’un domaine appelé géométrie algébrique. La théorie des intersections peut être utilisée pour examiner des questions relativement simples, par exemple sur la manière dont deux lignes se croisent, mais elle constitue également un moyen puissant de comprendre ce qui se passe dans des situations plus difficiles impliquant un plus grand nombre d’objets ou des objets plus compliqués à étudier.
Alors que Larson était étudiante de premier cycle à l’Université Harvard, elle est devenue captivée par les mathématiques qu’elle apprenait dans un cours de théorie des intersections. «Je pensais que ce cours était tellement incroyable et que les choses que l’on pouvait calculer à l’aide de la théorie des intersections étaient tellement cool», dit Larson.
Larson, qui en est encore au début de sa carrière, a été reconnue pour son travail repoussant les limites de plusieurs domaines de recherche mathématique. Elle a parlé à Américain scientifique à propos de sa récente victoire et de certains des outils, objets et idées mathématiques qui sont des acteurs clés de ses recherches.
[An edited transcript of the interview follows.]
Comment décririez-vous la théorie des intersections ?
Au niveau le plus élémentaire, il s’agit de comprendre ce qui se passe lorsque vous croisez des éléments. Mais en géométrie algébrique, je dirais que la théorie des intersections est particulièrement intéressante lorsque l’on travaille avec des espaces de modules.
Que sont les espaces de modules ?
Un espace de modules est un espace où chaque point correspond à un objet d’un certain type qui nous intéresse. L’une des idées motivantes est que les objets mathématiques sont un peu comme les personnes : nous les comprenons mieux lorsque nous les étudions ensemble en famille. avec des objets du même type. L’espace des modules nous aide à le faire car les points de l’espace des modules gardent une trace de tous les différents objets d’un certain type.
De plus, si je trace un chemin dans l’espace des modules, cela correspond à une famille de nos objets en constante évolution. Ce que cela signifie est un peu difficile à préciser, mais on peut prendre cet exemple : l’espace des modules des cercles. Chaque cercle est déterminé par son centre, (un, b), et son rayon, r. Ainsi l’espace des modules des cercles est un espace tridimensionnel de triples, (un, b, r), où r est supérieur à zéro. Si je trace un chemin continu dans l’espace des modules, vous pouvez imaginer un film représentant un cercle qui roule et qui augmente et diminue en taille. Mais ça ne partira jamais [one spot] et saute juste par-dessus [to another] parce que [that] ne serait pas continue.
Quel est le rapport avec la théorie des intersections ?
Si vous êtes intéressé par certains sous-ensembles d’un espace de modules, ceux-ci auront tendance à correspondre à des objets qui ont une certaine propriété. Ainsi, lorsque vous croisez deux sous-ensembles dans l’espace des modules, vous essayez de comprendre quels objets possèdent ces deux propriétés. C’est essentiellement l’objet de la théorie des intersections.
Quelles stratégies utilisez-vous dans vos recherches ?
Un outil que j’utilise beaucoup et qui est très important est le suivant : lorsque vous étudiez un espace de modules, vous essayez de le découper en morceaux et de comprendre ce qui se passe dans chacun de ces morceaux. Cela s’appelle l’excision.
Il existe un moyen de rassembler ces informations. Mais si vous divisez votre espace de modules en morceaux trop petits, il peut parfois être très difficile de les reconstituer. C’est donc aussi tout un art de le découper de la bonne manière.
Une autre consiste à trouver des cartes entre les espaces. Si vous essayez de comprendre un espace de modules et que vous pouvez mapper cet espace de modules à un espace de modules plus simple, vous pouvez souvent utiliser votre compréhension de l’espace de modules le plus simple pour dire quelque chose sur l’espace de modules le plus compliqué. Donner une carte d’un espace de modules à un autre est comme une règle pour prendre des objets d’un type et obtenir des objets d’un type différent, espérons-le plus simple.
Une grande partie de vos recherches implique de travailler avec des dimensions supérieures. Quels sont certains des défis liés à l’exploration de dimensions supérieures ?
L’un des défis est que vous ne pouvez pas très bien l’imaginer, et pourtant, cela fait aussi partie de la joie : vous essayez toujours de l’imaginer. Une chose que nous pouvons faire est d’essayer d’imaginer une partie de ce qui se passe.
Imaginez que vous vivez dans un monde en deux dimensions et que vous n’avez jamais vu de 3D auparavant. Quelqu’un en 3D possède une sphère, et vous n’avez jamais vu de sphère. Mais si vous pouvez imaginer des choses qui vivent en deux dimensions et êtes capable de comprendre comment cet objet mystérieux en 3D rencontre chaque plan en 2D, alors vous obtenez cette image. Il y a quelque chose là-bas, et lorsque vous le coupez de différentes manières, vous obtenez des cercles de différentes tailles. Peut-être que vous ne pouvez pas réellement imaginer à quoi ressemble une sphère, mais vous en savez quand même quelque chose.
Que signifie pour vous remporter le Prix Maryam Mirzakhani Nouvelles Frontières ?
C’est un tel honneur. Maryam Mirzakhani a été une telle source d’inspiration et l’est toujours, en particulier pour les jeunes femmes. Recevoir ce prix en son honneur le rend très spécial.
