Une question préoccupait l’humanité depuis des milliers d’années: les infinités existent-elles? Il y a plus de 2 300 ans, Aristote a distingué deux types d’infini: potentiel et réel. Le premier traite des scénarios abstraits qui résulteraient de processus répétés. Par exemple, si on vous demandait d’imaginer compter pour toujours, en ajoutant 1 au numéro précédent, encore et encore, cette situation, selon Aristote, impliquerait une infinité potentielle. Mais les infinités réelles, selon le savant, ne pouvaient pas exister.
La plupart des mathématiciens ont donné aux infinités une large couchette jusqu’à la fin du 19e siècle. Ils ne savaient pas comment gérer ces quantités étranges. Qu’est-ce qui se traduit par l’infini plus 1 – ou l’infini les temps infinie? Ensuite, le mathématicien allemand Georg Cantor a mis fin à ces doutes. Avec la théorie des ensembles, il a établi la première théorie mathématique qui a permis de gérer les incommensurables. Depuis lors, les infinités font partie intégrante des mathématiques. À l’école, nous apprenons les ensembles de nombres naturels ou réels, dont chacun est infiniment grand, et nous rencontrons des nombres irrationnels, tels que Pi et la racine carrée de 2, qui ont un nombre infini de décimales.
Pourtant, il y a des gens, soi-disant finitistes, qui rejettent l’infini à ce jour. Parce que tout dans notre univers – y compris les ressources nécessaires pour calculer les choses – semble être limitée, cela n’a aucun sens pour eux de calculer avec les infinités. Et en effet, certains experts ont proposé une branche alternative des mathématiques qui ne s’appuie que sur des quantités finalement constructibles. Certains essaient maintenant même d’appliquer ces idées à la physique dans l’espoir de trouver de meilleures théories pour décrire notre monde.
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Définir la théorie et les infinités
Les mathématiques modernes sont basées sur la théorie des ensembles, qui, comme son nom l’indique, tourne autour des groupements ou des ensembles. Vous pouvez considérer un ensemble comme un sac dans lequel vous pouvez mettre toutes sortes de choses: nombres, fonctions ou autres entités. En comparant le contenu de différents sacs, leur taille peut être déterminée. Donc, si je veux savoir si un sac est plus plein qu’un autre, je retire des objets un à la fois de chaque sac en même temps et je vois qui vide d’abord.
Ce concept ne semble pas particulièrement surprenant. Même les petits enfants peuvent saisir le principe de base. Mais Cantor a réalisé que des quantités infiniment grandes peuvent être comparées de cette manière. En utilisant la théorie des ensembles, il est arrivé à la conclusion qu’il existe des infinités de différentes tailles. L’infini n’est pas toujours le même que l’infini; Certaines infinités sont plus grandes que d’autres.
Les mathématiciens Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel ont utilisé la théorie des ensembles pour donner aux mathématiques une base au début du 20e siècle. Avant cela, les sous-domaines tels que la géométrie, l’analyse, l’algèbre et les stochastiques étaient largement isolés les uns des autres. Fraenkel et Zermelo ont formulé neuf règles de base, connues sous le nom d’axiomes, sur lesquels tout le sujet des mathématiques est maintenant basé.
Un tel axiome, par exemple, est l’existence de l’ensemble vide: les mathématiciens supposent qu’il y a un ensemble qui ne contient rien; un sac vide. Personne ne remet en question cette idée. Mais un autre axiome garantit que des ensembles infiniment grands existent également, c’est là que les finitistes tracent une ligne. Ils veulent construire des mathématiques qui se déroulent sans cet axiome, une mathématique finie.
Le rêve des mathématiques finies
Les finitistes rejettent les infinités non seulement en raison des ressources finies à notre disposition dans le monde réel. Ils sont également gênés par des résultats contre-intuitifs qui peuvent être dérivés de la théorie des ensembles. Par exemple, selon le paradoxe de Banach-Tarski, vous pouvez démonter une sphère, puis la réassembler en deux sphères, chacune est aussi grande que l’original. D’un point de vue mathématique, ce n’est pas un problème de doubler une sphère, mais en réalité, ce n’est pas possible.
Si les neuf axiomes permettent de tels résultats, les finitistes se disputent, alors quelque chose ne va pas avec les axiomes. Parce que la plupart des axiomes sont apparemment intuitifs et évidents, les finitistes ne rejettent que celui qui, à leur avis, contredit le bon sens: l’axiome sur des ensembles infinis.
Leur point de vue peut être exprimé comme suit: «Un objet mathématique n’existe que s’il peut être construit à partir des nombres naturels avec un nombre fini d’étapes.» Les nombres irrationnels, malgré leur atteinte avec des formules claires, telles que la racine carrée de 2, sont constituées de sommes infinies et ne peuvent donc pas faire partie des mathématiques finies.
En conséquence, certains principes logiques ne s’appliquent plus, y compris le théorème d’Aristote du milieu exclu, selon lequel une déclaration mathématique est toujours vraie ou fausse. Dans le finitisme, une déclaration peut être indéterminée à un certain moment si la valeur d’un nombre n’a pas encore été déterminée. Par exemple, avec des déclarations qui tournent autour des nombres tels que 0,999 …, si vous effectuez la période complète et envisagez un nombre infini de 9, la réponse devient 1. Mais s’il n’y a pas d’infini, cette déclaration est tout simplement erronée.
Un monde finitiste?
Sans le théorème du milieu exclu, toutes sortes de difficultés surviennent. En fait, de nombreuses preuves mathématiques sont basées sur ce principe même. Il n’est donc pas surprenant que seuls quelques mathématiciens se soient consacrés au finitisme. Rejeter les infinités rend les mathématiques plus compliquées.
Et pourtant, il y a des physiciens qui suivent cette philosophie, notamment Nicolas Gisin de l’Université de Genève. Il espère qu’un monde fini de nombres pourrait décrire notre univers mieux que les mathématiques modernes actuelles. Il fonde ses considérations sur l’idée que l’espace et le temps ne peuvent contenir qu’une quantité limitée d’informations. En conséquence, cela n’a aucun sens de calculer avec des nombres infiniment longs ou infiniment grands car il n’y a pas de place pour eux dans l’univers.
Cet effort n’a pas encore progressé loin. Néanmoins, je trouve cela excitant. Après tout, la physique semble être coincée: les questions les plus fondamentales sur notre univers, telles que la façon dont elles ont vu le jour ou la façon dont les forces fondamentales se connectent, doivent encore être répondues. Trouver un point de départ mathématique différent pourrait être utile. De plus, il est fascinant d’explorer jusqu’où vous pouvez aller en mathématiques si vous changez ou omettez certaines hypothèses de base. Qui sait ce que les surprises se cachent dans le domaine fini des mathématiques?
En fin de compte, cela se résume à une question de foi: croyez-vous aux infinités ou non? Tout le monde doit répondre par eux-mêmes.
Cet article original est apparu dans le spectre de la science et a été reproduit avec permission.
