Des mathématiques simples créent des nombres automorphes infinis et bizarres

Les mathématiques consistent souvent à découvrir des modèles. Par exemple, certains domaines de la topologie Tourner autour catégoriser les nœuds ou des formes géométriques, et la théorie des nombres explore des propriétés telles que distribution des nombres premiers. Si nous nous limitons à des relations un peu plus simples, nous pouvons observer une tendance avec les nombres 5 et 6 qui a été reconnue par les Babyloniens il y a des millénaires : le carré de 5 est 25, qui se termine par 5 ; le carré de 25 est 625, qui se termine par 25 ; et le carré de 625 est 390 625, qui se termine par 625. Ce qui semble être un gadget amusant rendu populaire par le mathématicien Maurice Kraitchik en 1942 conduit à l’un des systèmes numériques les plus importants en mathématiques – et l’un des plus étranges.

Si vous jouez avec le chiffre 6, le résultat n’est pas aussi impressionnant, mais ici aussi, une tendance apparaît : 6 au carré donne 36 ; 36 au carré donne 1 296. Bien que 36 n’apparaisse plus dans la séquence de chiffres, le résultat se termine toujours par 6. En général, les nombres dont le carré se termine par le ou les mêmes chiffres que le nombre lui-même sont dits automorphes. Il en existe un nombre infini : 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, etc. Il s’avère qu’à part 0 et 1, tous les nombres automorphes se terminent par 5 ou 6.

Le chiffre 5 est cependant particulièrement excitant. Non seulement il est automorphe, mais aussi son carré et le carré de son carré sont automorphes. Cela pose naturellement la question de savoir si cette séquence de nombres automorphes se poursuit indéfiniment. En d’autres termes, la quadrature répétée de 5 produit-elle toujours un nombre automorphe ?

Il s’avère que ce n’est pas le cas :

La configuration semble donc s’effondrer après le troisième carré : 390 625² donne 152 587 890 625. Donc 390 625 ne peut pas être automorphe car le nombre n’est pas entièrement contenu dans son carré.

Mais si vous regardez attentivement, vous remarquerez qu’au moins les cinq derniers chiffres apparaissent dans le nombre carré, à savoir 90 625. Et si tu es au carré ce numéro, vous obtenez : 8 212 890 625. Donc 90 625 est un nombre automorphe !

Cela signifie que vous pouvez continuer et calculer le carré de 8 212 890 625. Le résultat est énorme, mais il s’avère que 8 212 890 625 est également automorphe car son carré est 67 451 572 418 212 890 625.

Vous pouvez continuer cette procédure : mettre successivement au carré tous les nombres, et s’ils ne sont pas automorphes, continuer les calculs avec les derniers chiffres qui se répètent. Cela donne la séquence de nombres suivante :

5
25
625
90 625
8 212 890 625
18 212 890 625
918 212 890 625

Comme vous pouvez le constater, cela se traduit par un nombre automorphe de plus en plus grand. En fait, cette procédure peut être poursuivie à l’infini : on obtient finalement un nombre infiniment grand qui est complètement automorphe (c’est-à-dire un nombre infiniment grand dont le carré correspond à lui-même : n² = n). Même si vous ne pouvez pas écrire ce nombre infiniment grand, ses derniers chiffres sont connus : …918 212 890 625.

Le fait qu’il existe un tel « point fixe » dans l’infini est en soi étonnant. Le fait qu’au moins les derniers chiffres de ce numéro puissent être précisés avec précision est encore plus étonnant.

Il n’est pas immédiatement évident que cette procédure puisse être poursuivie indéfiniment. Après tout, à un moment donné, vous pourriez tomber sur un nombre qui n’est plus automorphe. Et de toute façon, qu’est-ce qu’un nombre infini comme… 67 451 572 418 212 890 625 est censé représenter ? En quoi est-elle différente d’une valeur telle que…11111111111 ? Après tout, les deux nombres sont infinis.

Un nouveau système de numérotation est né

À la fin du XIXe siècle, le mathématicien Kurt Hensel développé le concept de ce qu’on appelle p-nombres adiques. Ce sont des nombres qui ont un nombre infini de chiffres avant la virgule décimale, contrairement aux nombres réels ordinaires, qui continuent indéfiniment après la virgule décimale, comme π = 3,14159…. Même si cela semble extrêmement inhabituel au premier abord, vous pouvez calculer avec p-les nombres adiques de la même manière que les nombres réels ordinaires.

Pour voir cela, considérons une représentation quelque peu inhabituelle des nombres réels. Tout nombre réel peut aussi être exprimé comme une somme infinie. Par exemple, π = 3 x 10⁰ + 1 x 10^-1 + 4×10^-2 + 1 x 10^-3 + 5×10^-4 + 9×10^-5 +…

Le pLes nombres -adiques peuvent également être représentés comme une série infinie mais avec des exposants positifs. Donc…890625 = 5×10⁰ +2×10¹ +6×10² + 0x10³ + 9×10⁴ + 8×10⁵ + …. De cette façon, il devient plus clair comment calculer avec ces nombres étranges. Par exemple, …111111 + …22222 = …33333. Le pLes nombres -adiques peuvent également être divisés et multipliés.

Cependant, les deux dernières opérations peuvent entraîner des problèmes avec les nombres automorphes tels que … 890 625. Comme déjà mentionné, ce nombre correspond à son carré, donc ce qui suit s’applique : n² = n.

Si vous convertissez cette équation quadratique, le résultat est : n² – n = n X (n – 1) = 0. Si un produit de deux facteurs (ici n et n – 1) donne 0, alors au moins un des facteurs doit être 0. Ce n’est cependant le cas que si n = 0 ou n = 1. Avec p-les nombres adiques, n peut également avoir une valeur autre que 0 ou 1, comme …890,625, par exemple, tout en remplissant l’équation ci-dessus. Cela signifie qu’avec p-nombres adiques, le produit de deux nombres qui ne sont pas tous deux égaux à 0 peut toujours donner 0.

Division par zéro

De tels « diviseurs zéro » posent problème même dans des calculs simples. Du coup, vous devez être extrêmement prudent lorsque vous divisez pour éviter de diviser accidentellement un nombre par 0. Cela peut être vu dans l’exemple suivant : Supposons que un et b sont p-des nombres adiques qui ne sont pas égaux à 0 et qui un X b = 0. Si vous voulez résoudre l’équation 2⁄un = b x (1 + X) pour Xvous diviseriez généralement les deux côtés de l’équation par b d’abord. Parce que le produit de un et b est 0, cependant, vous diviseriez le terme de gauche par 0. L’équation ne peut donc pas être résolue de cette manière.

Il s’avère que de tels diviseurs zéro problématiques peuvent être évités. Au cas où vous vous poseriez des questions sur le nom du système numérique, le p représente un nombre premier. Le pLes nombres -adiques que j’ai présentés sont en réalité des nombres « 10-adiques », qui sont définis en base 10. Parce que 10 n’est pas un nombre premier, de tels diviseurs zéro désagréables apparaissent. Mais si vous regardiez par exemple les nombres 3-adiques, qui sont représentés par une somme de la forme X₀ x3⁰ + X₁ x3¹ + X₂ x3² + X₃ x3³ + X₄ x3⁴ + X₅ x3⁵ + … (où les coefficients X_je = 0, 1 ou 2), vous ne trouverez aucun diviseur nul. Et ainsi, p-nombres adiques où p est en réalité un nombre premier et ne contient aucune valeur complètement automorphe qui remplisse n² = nà l’exception de …00000 et …00001 (0 et 1).

Bien que le pLes nombres -adiques semblent extrêmement compliqués à première vue, ils sont largement utilisés. En fait, les théoriciens des nombres utilisent ces valeurs étranges pour la plupart de leurs travaux. p-les nombres adiques sont « très éloignés de nos intuitions quotidiennes » le mathématicien Peter Scholze a dit Quanta revue. “Maintenant, je trouve les chiffres réels beaucoup plus déroutants que p-nombres adiques. Je m’y suis tellement habitué que les chiffres réels me semblent désormais très étranges.

Cet article a été initialement publié dans spectre de la science et a été reproduit avec autorisation.