“Nous pensons surtout que toutes les conjectures sont vraies, mais c’est tellement excitant de voir qu’il s’est réellement réalisé”, a déclaré Carabienmathématicien à l’Imperial College de Londres. “Et dans un cas que vous pensiez vraiment être hors de portée.”
Ce n’est que le début d’une chasse qui prendra des années – les mastématiciens veulent finalement faire preuve de modularité pour chaque surface abélienne. Mais le résultat peut déjà aider à répondre à de nombreuses questions ouvertes, tout comme la modularité des courbes elliptiques a ouvert toutes sortes de nouvelles directions de recherche.
À travers le verre à la recherche
La courbe elliptique est un type d’équation particulièrement fondamental qui utilise seulement deux variables –x et y. Si vous graphisez ses solutions, vous verrez ce qui semble être de simples courbes. Mais ces solutions sont interdépendantes de manière riche et compliquée, et elles apparaissent dans de nombreuses questions les plus importantes de la théorie des nombres. La conjecture Birch et Swinnerton-Dyer, par exemple – l’un des problèmes ouverts les plus difficiles en mathématiques, avec une récompense de 1 million de dollars pour quiconque le prouve en premier – est la nature des solutions aux courbes elliptiques.
Les courbes elliptiques peuvent être difficiles à étudier directement. Donc, parfois, les mathématiciens préfèrent les approcher sous un angle différent.
C’est là que les formes modulaires entrent en jeu. Une forme modulaire est une fonction hautement symétrique qui apparaît dans un domaine ostensiblement séparé de l’étude mathématique appelée analyse. Parce qu’ils présentent tellement de belles symétries, les formes modulaires peuvent être plus faciles à travailler.
Au début, ces objets semblent qu’ils ne devraient pas être liés. Mais la preuve de Taylor et Wiles a révélé que chaque courbe elliptique correspond à une forme modulaire spécifique. Ils ont certaines propriétés en commun – par exemple, un ensemble de nombres qui décrivent les solutions à une courbe elliptique apparaîtra également dans sa forme modulaire associée. Les mathématiciens peuvent donc utiliser des formes modulaires pour obtenir de nouvelles perspectives sur les courbes elliptiques.
Mais les mathématiciens pensent que le théorème de la modularité de Taylor et Wiles n’est qu’un cas d’un fait universel. Il y a une classe d’objets beaucoup plus générale au-delà des courbes elliptiques. Et tous ces objets devraient également avoir un partenaire dans le monde plus large des fonctions symétriques comme les formes modulaires. C’est, en substance, ce qu’est le programme Langlands.
Une courbe elliptique n’a que deux variables –x et y– Ainsi, il peut être représenté sur une feuille plate de papier. Mais si vous ajoutez une autre variable, zvous obtenez une surface sinueuse qui vit dans un espace tridimensionnel. Cet objet plus compliqué est appelé une surface abélienne, et comme avec les courbes elliptiques, ses solutions ont une structure ornée que les mathématiciens veulent comprendre.
Il semblait naturel que les surfaces abéliennes correspondent à des types plus compliqués de formes modulaires. Mais la variable supplémentaire les rend beaucoup plus difficiles à construire et leurs solutions beaucoup plus difficiles à trouver. Prouver qu’ils satisfont également un théorème de modularité semblaient complètement hors de portée. “C’était un problème connu de ne pas penser, car les gens y ont pensé et sont restés coincés”, a déclaré Gee.
Mais Boxer, Calegari, Gee et Pilloni voulaient essayer.
Trouver un pont
Les quatre mathématiciens étaient impliqués dans la recherche sur le programme Langlands, et ils voulaient prouver l’une de ces conjectures pour «un objet qui se présente réellement dans la vraie vie, plutôt que quelque chose de étrange», a déclaré Calegari.
Non seulement les surfaces abéliennes apparaissent dans la vraie vie, la vraie vie d’un mathématicien, c’est-à-dire – mais prouvant un théorème de modularité à leur sujet ouvrirait de nouvelles portes mathématiques. “Il y a beaucoup de choses que vous pouvez faire si vous avez cette déclaration que vous n’avez aucune chance de faire autrement”, a déclaré Calegari.
Les mathématiciens ont commencé à travailler ensemble en 2016, espérant suivre les mêmes étapes que Taylor et Wiles avaient dans leur preuve des courbes elliptiques. Mais chacune de ces étapes était beaucoup plus compliquée pour les surfaces abéliennes.
Ils se sont donc concentrés sur un type particulier de surface abélienne, appelée surface abélienne ordinaire, qui était plus facile à travailler. Pour une telle surface, il y a un ensemble de nombres qui décrivent la structure de ses solutions. S’ils pouvaient montrer que le même ensemble de nombres pourrait également être dérivé d’une forme modulaire, ils auraient fait. Les nombres serviraient de balise unique, leur permettant d’associer chacune de leurs surfaces abéliennes avec une forme modulaire.
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