Publié le 16 octobre 2025 06:55:00. Des mathématiques à la musique, un lien insoupçonné se révèle à travers l’histoire de l’accordage et de la composition, illustré par des outils géométriques comme le Tonnetz et des figures emblématiques comme Bach et Schoenberg.
- Le Tonnetz, un diagramme géométrique, visualise les relations harmoniques entre les notes de musique, trouvant ses racines dans les travaux de Léonhard Euler au XVIIIe siècle.
- Les Pythagoriciens ont été parmi les premiers à identifier des rapports numériques simples entre les hauteurs des notes harmonieuses, ouvrant la voie à des systèmes d’accordage complexes.
- Si le tempérament égal, adopté universellement, est un compromis mathématique, il a permis le développement de la musique moderne, tout en suscitant des débats sur la pureté des intervalles.
L’harmonie musicale et les mathématiques entretiennent une relation profonde, explorée depuis l’Antiquité. Dès l’époque de Pythagore, les liens entre les nombres et les sons ont fasciné les penseurs. Les Pythagoriciens avaient observé que des intervalles musicaux agréables, appelés consonnes, correspondaient à des rapports numériques simples entre les longueurs de cordes vibrantes. En divisant une corde de vibration par deux, on obtenait une octave plus aiguë, tandis qu’une division par un tiers produisait une quinte parfaite. Ces découvertes ont jeté les bases de la recherche d’un système d’accordage idéal.
Le défi consistait à diviser l’octave en intervalles plus petits, musicalement satisfaisants. Pythagore a ainsi créé une gamme diatonique, ancêtre de nos gammes modernes, en utilisant uniquement les rapports 2:1 et 3:2. Cependant, la combinaison de ces intervalles entraînait rapidement des complexités numériques. Une simplification de ce schéma a mené à la « juste intonation », privilégiant des rapports plus simples et une harmonie plus pure. Dans ce système, les notes d’une triade de do majeur (do, mi, sol) se rapportaient entre elles par les proportions 4:5:6.
La juste intonation présentait toutefois un défaut majeur : un accordage parfait dans une tonalité donnait des dissonances dans une autre. Avec l’évolution de la musique et l’introduction de modulations plus fréquentes, cette limitation est devenue criante. C’est alors qu’est apparu le système de « tempérament égal », plus flexible. Il garantit que le rapport de hauteur entre deux notes adjacentes est constant, égal à la racine douzième de deux. Ce système, bien que mathématiquement élégant, implique un léger écart par rapport aux intervalles parfaits.
Jean-Sébastien Bach a démontré la puissance du tempérament égal en composant un ensemble de 24 préludes et fugues, explorant toutes les tonalités majeures et mineures. Bach a ainsi prouvé la viabilité et la richesse expressive de ce système d’accordage. Cependant, le tempérament égal est un compromis : tous les intervalles sont légèrement « imparfaits », bien que cette imperfection soit à peine perceptible pour l’oreille humaine. Comme le soulignait un puriste, il « rend tous les intervalles également imparfaits ». Néanmoins, il représente une contribution mathématique majeure à la musique.
Au XXe siècle, des compositeurs ont cherché à explorer des approches plus radicales, s’affranchissant des contraintes du système tonal. Arnold Schoenberg, figure emblématique de l’atonalité, a développé la musique sérielle, où les 12 notes de la gamme chromatique sont traitées de manière égale, sans hiérarchie. Schoenberg a ainsi déconstruit les fondements de la musique classique. Mark Twain, qui n’a pas eu l’occasion d’écouter de musique dodécaphonique, aurait pu appliquer sa description de Wagner à Schoenberg :
« On me dit que sa musique est bien meilleure qu’elle n’en a l’air ! »
Mark Twain, écrivain américain
Albert Einstein, quant à lui, la jugeait tout simplement « folle ».
La musique dodécaphonique, bien que novatrice, n’a pas rencontré un succès populaire durable. Elle reste davantage étudiée que jouée. La musique, en fin de compte, touche nos émotions, et les seuls principes mathématiques ne suffisent pas à créer une œuvre captivante. Léonard Bernstein affirmait que si la musique naît de la science, elle est avant tout un art mystérieux et métaphorique, et que « toute explication de la musique doit combiner les mathématiques et l’esthétique ».
Peter Lynch est professeur émérite à la School of Mathematics & Statistics de l’University College Dublin. Il tient un blog sur thatsmaths.com.
