Les mathématiciens ont voulu mieux comprendre ces nombres qui ressemblent si étroitement aux objets les plus fondamentaux de la théorie des nombres, les nombres premiers. Il s’est avéré qu’en 1899, une décennie avant le résultat de Carmichael, un autre mathématicien, Alwin Korselt, avait proposé une définition équivalente. Il n’avait tout simplement pas su s’il y avait des chiffres qui correspondaient à la facture.
Selon le critère de Korselt, un nombre N est un nombre de Carmichael si et seulement s’il satisfait trois propriétés. Premièrement, il doit avoir plus d’un facteur premier. Deuxièmement, aucun facteur premier ne peut se répéter. Et troisièmement, pour chaque nombre premier p qui divise N, p – 1 divise aussi N – 1. Considérons à nouveau le nombre 561. Il est égal à 3 × 11 × 17, il satisfait donc clairement les deux premières propriétés de la liste de Korselt. Pour montrer la dernière propriété, soustrayez 1 de chaque facteur premier pour obtenir 2, 10 et 16. De plus, soustrayez 1 de 561. Les trois plus petits nombres sont des diviseurs de 560. Le nombre 561 est donc un nombre de Carmichael.
Bien que les mathématiciens soupçonnent qu’il existe une infinité de nombres de Carmichael, il y en a relativement peu par rapport aux nombres premiers, ce qui les rend difficiles à cerner. Puis en 1994, Red Alford, Andrew Granville et Carl Pomerance ont publié un article révolutionnaire dans lequel ils ont finalement prouvé qu’il existe en effet une infinité de ces pseudopremiers.
Malheureusement, les techniques qu’ils ont développées ne leur ont pas permis de dire à quoi ressemblaient ces chiffres de Carmichael. Sont-ils apparus en grappes le long de la droite numérique, avec de grands écarts entre les deux ? Ou pourriez-vous toujours trouver un numéro Carmichael dans un court intervalle ? “On pourrait penser que si vous pouvez prouver qu’il y en a une infinité”, a déclaré Granville, “vous devriez sûrement être en mesure de prouver qu’il n’y a pas de grands écarts entre eux, qu’ils devraient être relativement bien espacés.”
En particulier, lui et ses coauteurs espéraient prouver une affirmation qui reflétait cette idée – qu’étant donné un nombre suffisamment grand Xil y aura toujours un nombre de Carmichael entre X et 2X. “C’est une autre façon d’exprimer à quel point ils sont omniprésents”, a déclaré Jon Grantham, mathématicien à l’Institute for Defense Analyzes qui a effectué des travaux connexes.
Mais pendant des décennies, personne n’a pu le prouver. Les techniques développées par Alford, Granville et Pomerance “nous ont permis de montrer qu’il y aurait beaucoup de numéros de Carmichael”, a déclaré Pomerance, “mais ne nous ont pas vraiment permis d’avoir beaucoup de contrôle sur l’endroit où ils seraient. ”
Puis, en novembre 2021, Granville a ouvert un e-mail de Larsen, alors âgé de 17 ans et en dernière année de lycée. Un document était joint – et à la surprise de Granville, il semblait correct. “Ce n’était pas la lecture la plus facile de tous les temps”, a-t-il déclaré. “Mais quand je l’ai lu, il était clair qu’il ne plaisantait pas. Il avait des idées brillantes.
Pomerance, qui a lu une version ultérieure de l’œuvre, a accepté. “Sa preuve est vraiment assez avancée”, a-t-il déclaré. “Ce serait un article que n’importe quel mathématicien serait vraiment fier d’avoir écrit. Et voici un lycéen qui l’écrit.
