Publié le 28 décembre 2025 07:00:00. Les mathématiques explorent de plus en plus des espaces complexes, appelés variétés, qui permettent de mieux comprendre notre univers et de résoudre des problèmes variés, de la géométrie à la physique en passant par l’analyse de données. Ces formes, souvent invisibles à l’échelle humaine, sont fondamentales pour la science moderne.
- Les variétés sont des formes qui apparaissent plates à une échelle réduite, mais qui peuvent avoir une structure globale complexe.
- Introduites par Bernhard Riemann au XIXe siècle, elles ont révolutionné la conception de l’espace en mathématiques.
- Elles constituent un langage commun pour les mathématiciens, comparable à l’alphabet pour la langue.
La géométrie, pendant des millénaires, s’est concentrée sur l’étude des objets dans l’espace euclidien, cet espace plat que nous percevons quotidiennement. Jusqu’au début du XIXe siècle, le terme « espace » renvoyait essentiellement à l’espace physique, à l’image d’une ligne en une dimension ou d’un plan en deux dimensions. Dans cet espace, les lois sont intuitives : la distance la plus courte entre deux points est une ligne droite, et les angles d’un triangle totalisent toujours 180 degrés. Les calculs y sont fiables et prévisibles.
Mais au début du XIXe siècle, certains mathématiciens ont commencé à s’intéresser à des espaces différents, non plats, courbés comme la surface d’une sphère ou d’une selle. Dans ces espaces, les règles changent : des lignes parallèles peuvent se croiser, la somme des angles d’un triangle peut être supérieure ou inférieure à 180 degrés, et les calculs deviennent plus complexes. Cette remise en question a initialement rencontré des difficultés d’acceptation au sein de la communauté mathématique.
C’est dans ce contexte qu’émerge la figure de Bernhard Riemann, un mathématicien timide qui avait d’abord envisagé une carrière théologique – son père étant pasteur – avant de se consacrer aux mathématiques. En 1849, il entreprend un doctorat sous la direction de Carl Friedrich Gauss, qui étudiait les propriétés intrinsèques des courbes et des surfaces, indépendamment de l’espace qui les contient. Riemann a alors eu l’idée de pousser ces concepts plus loin, en définissant des espaces abstraits qui ne sont pas nécessairement liés à une représentation physique.
Ces nouvelles formes, les mathématiciens les ont baptisées « variétés ». Elles permettent de considérer l’espace non plus comme un simple cadre pour d’autres objets mathématiques, mais comme un objet d’étude à part entière. Cette perspective a ouvert la voie à la topologie moderne, un domaine dédié à l’étude des espaces mathématiques, et a eu un impact majeur sur des disciplines aussi diverses que la géométrie, les systèmes dynamiques, l’analyse de données et la physique.
Aujourd’hui, les variétés offrent aux mathématiciens un vocabulaire commun pour aborder une grande variété de problèmes. Comme l’explique Fabrizio Bianchi, mathématicien à l’Université de Pise en Italie :
« Si je connais le cyrillique, est-ce que je connais le russe ? Non. Mais essayez d’apprendre le russe sans apprendre le cyrillique. »
Fabrizio Bianchi, mathématicien à l’Université de Pise
Pour José Ferreirós, philosophe des sciences à l’Université de Séville en Espagne, l’évolution de la géométrie est fondamentale :
« Jusqu’aux années 1800, “espace” signifiait “espace physique”. »
José Ferreirós, philosophe des sciences à l’Université de Séville
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